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함수(函數)
sonamy  |  11.10.27 10:34
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함수<function>(函數)

 

집합사이의 원소들을 "유일한 방법"으로 연결시켜 주는 대응을 말한다. 즉 집합 A에서 집합 B로의 함수는 인 모든 A의 원소에 대하여 를 만족하는 B의 원소가 "유일하게"결정되는 대응 f 를 말한다. 따라서 함수는 다대일 대응(또는 일대일 대응)이 된다. 예를 들어 sin x (다대일), x (1 대 1), [0]#wh4/4.7`6.2/11,[1]{{x}^{2}}(점 x=0을 제외하면 2 대 1)등은 모두 함수이다. "사상(mapping)"이라는 말이 함수의 뜻으로 쓰이기도 한다.함수를 표현하는 방법으로는 여러가지가 있다. 가장 일반적인 방법은 수 x 와 그것의 함수값 f(x)를 가지고 함수 f를 표현하는 이다. 여기에서 함수는 일변수 함수가 된다. 함수의 정의역과 공역을 함께 나타내는 다음과 같은 방법을 쓰기도 한다.

에서 함수

약간은 다른 의미이지만 함수가 사상(mapping)으로 생각되어질 때에는 다음과 같은 표현을 쓰기도 한다.

 

• 일반적으로 기호 f 가 함수 자체를 나타내고, f(x)는 점 x에서 계산된 함수값을 나타낸다. 그러나 많은 책에서 f(x)가 (함수값이 아닌) 함수 f 자체를 나타내는데 사용하고 있다. 이러한 때에는 f(x, y)와 같은 다변수 함수와는 달리 단 하나의 인수를 사용하고 있는 일변수 함수임을 나타내는 역할을 할뿐 특별한 의미는 없다. 이러한 표현은 엄밀성을 추구하는 전문 수학자들은 사용하는 것을 꺼리지만 대부분의 함수를 공부하는 일반사람들에게는 많이 익숙한 표현이다. 따라서 특별히 언급 되지 않는 한 f(x) 는 더 정확하게 표현한 대신  많이 사용되고 있다.

• 포앙카레(Poincare)라는 수학자는 함수의 여러가지 정의에 대하여 다음과 같이 말하였다."옛날에는 실제적인 목적을 가지고 새로운 함수를 만들었지만 오늘날에는 옛날 사람들의 부정확성을 밝히기 위해 새로운 함수를 만든다. 그러나 이러한 오늘날의 작업을 통해서 더 많은 것들이 이루어지지는 않는다는 사실을 알아야 한다."

 

한걸음 더- 함수라는 말을 처음으로 사용한 사람은 G.W.F.라이프니츠였다. 함수라는 개념은 수학의 역사와 더불어 존재해 왔다. 특히 R.데카르트의 좌표기하학(座標幾何學)은 함수 개념 없이는 성립될 수가 없다. 라이프니츠에 이어 베르누이가(家)의 수학자들이나 L.오일러 등이 함수의 뜻을 확장하였으나 오일러에서도 아직 함수는 변수와 상수에 의한 식이라는 생각을 벗어나지 못하고 있었다. - 현재의 함수의 기초를 구축한 것은 J.B.J.푸리에 및 A.L.코시이다. 코시의 함수에 대한 정의는 디리클레의 정의와 가까운 것이었다. 디리클레는 임의의 함수를 푸리에급수로써 표현하는 연구의 결과, 하나의 함수는 동일한 법칙에 의해 관계를 가지지 않아도 되며 식으로 표시할 필요성도 없다는 것으로 다음과 같은 정의에 도달하였다.

‘y가 x의 함수일 때, 기호로y=f(x), y=g(x), y=φ(x)와 같이 나타낸다. 이때, x=a로 되는 함수값을 f(a) 등으로 나타낸다. 또 독립변수가 2개 이상의 함수를 다변수함수라고 한다. z=f(x,y)는 z가 x와 y의 함수임을 보인다.’

 

- 실생활에서도 함수에 해당하는 것은 매우 많다. 예를 들어 열차의 운임은 거리(km 수)의 함수이다. 즉, 거리가 정해지면 그것에 대응하여 운임이 결정된다. 이와 비슷한 관계는 실로 헤아릴 수 없을 만큼 많다. 많은 함수들은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

① 1차함수 … y=ax+b (a, b는 상수)

② 2차함수 … y=ax2, y=ax2+bx+c

③ 분수함수 …

④ 무리함수 … y=z

⑤ 삼각함수 … y=sin x, y=cos x

⑥ 지수함수 … y=ex

⑦ 로그함수 … y=log x (x>0)

 

■ 원문출처 : http://mathworld.wolfram.com, 두산동아백과사전

■ 번역, 편집 : 손인수

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