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합동(合同)
sonamy  |  11.10.27 10:35
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  조회 2890

 

합동<congruence>(合同)

 

초등기하학·정수론(整數論) 등에서 자주 사용되는 용어이다.

 

• 【기하학에서의 합동】운동에 의하여 겹치게 할 수 있는 두 도형은 합동이라 한다. 운동이라는 것은 도형의 모양·크기를 변하지 않고 그 위치만을 변화시키는 일을 말한다. 두 도형 A,B가 합동이라는 것을 A≡B로 표시한다. 이 때 다음 관계가 성립한다.

A≡A(반사율)A≡B이면 B≡A(대칭률)A≡B, B≡C이면 A≡C(추이율)

 

두 합동인 도형을 겹치게 했을 때, 겹치는 점을 대응점(對應點)이라고 하면, 한쪽 도형의 두 점사이의 거리는, 다른 쪽의 도형의 이들에 대응하는 두 점사이의 거리와 같다. 한 변의 길이가 같은 두 정사각형, 반지름이 같은 두 원이나 구는 각각 합동이다.

△ABC, △A'B'C'는 다음 경우에 합동이다.① AB=A'B', AC=A'C', ∠A=∠A'② BC=B'C', ∠B=∠B', ∠C=∠C'③ AB=A'B', AC=A'C', BC=B'C'④ AB=A'B', BC=B'C', ∠A=∠A'=∠R

 

• 【정수론에서의 합동】두 정수 a,b에서 그 차가 정수 m으로 나누어 떨어질 때, a,b와 m을 법(法:모듈러스)으로 하여 합동이라고 한다. 이를

a≡b(mod m) 또는 a≡b(m)

 

과 같이 나타낸다. 이와 같은 합동관계를 나타내는 식을 합동식이라 한다. 이 때, 다음관계가 성립한다.

 

a≡a(m) (반사율)a≡b(m)이면 b≡a(m)(대칭률)a≡b(m), b=c(m)이면 a≡c(m)(추이율)

 

이 밖에

a≡b(m)이면 a±c≡b±c(m)ac≡bc(m)(단, c는 정수)a≡b(m), c≡d(m)이면 a±c≡b±d(m), ac≡bd(m)c와 m이 서로 소인 관계이고, ac≡bc(m)이면 a≡b(m)인 합동이 성립하게 된다.

 

m을 법으로 하고, a에 합동인 정수의 전체를, m을 법으로 하는 잉여류(剩餘類)라 한다. 동일 잉여류에 속하는 수는 m을 법으로 하여 서로 합동이다. a를 각각 0,1,2,…,m-1로 하여 m개의 잉여류를 만들면, 이들의 전체는 정수 전체와 일치한다. 즉, 정수 전체는 m을 법으로 하여 m개의 잉여류로 나눌 수 있다. 이것을 완전잉여류라 하며, 각 잉여류에서 대표로서 하나씩 선택한 m개의 수인 조(組)를 완전잉여계라 한다. a,b,m을 정수라고 할 때, ax+b≡0(m) 또는 ax≡b(m)인 형의 합동식을 1차 합동방정식, 또는 단순히 1차 합동식이라고 하며, 이 관계를 만족시키는 정수 x를 그의 해(解)라고 한다. ax≡b(m)은 a,m이 서로 소이면, 오직 하나의 해를 가진다. 또 a,m의 최대공약수가 d(>1)라고 하면, b가 d의 배수인 때에 한하여 해를 가진다. 해의 수는 d개이다. 여기에 해의 수라고 하는 것은, m을 법으로 하고 같은 잉여류에 속하는 해는 하나로서 계산한 수를 가리킨다.

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